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Allgemeines Jedes elektrische Schaltnetzwerk kann als Vierpol dargestellt werden. Im Falle eines linearen, zeitinvarianten, kausalen Netzwerkes können nun die mathematischen Zusammenhänge zwischen Eingangsstrom, Eingangsspannung, Ausgangsstrom und Ausgangsspannung mit Hilfe einer Matrix beschrieben werden. Hierdurch kann dieser Vierpol relativ einfach mit einem mathematischen Programm (z.B.: Maple) berechnet und simuliert werden. Bei der Herleitung benutzt man die Kirchhoffschen Sätze, die dann geschickt ineinander einsetzt werden. Ebenso ist es möglich, diesen Vierpol mit einem oder mehreren zu verschalten. Es entsteht so ein neuer größerer Vierpol. Mathematisch heißt dies, dass die jeweiligen Einzelmatrizen je nach Verschaltungsart zusammengeführt werden müssen. Zweck dieser Berechnungen wird später die Simulation von Reglern sein, die als Operationsverstärker-Schaltungen oder als normale Schwingkreise vorliegen.

Spannungsteiler mit komplexen Widerständen

Aufstellung der Gleichungen: I_e = -I_a U_e = I_e * Z₁ + U_a Abhängigkeiten darstellen: U_e = {U_a* 1}+ {(-I_a)Z₁} I_e = {U_a 0}+ {(-I_a) * 1} Direktes Ablesen der A-Matrix:	Aufstellung der Gleichungen: U_e = U_a U_e = (I_e + I_a)Z₂ Abhängigkeiten darstellen: U_e = I_eZ₂+ I_aZ₂ U_a = I_eZ₂+ I_a*Z₂ Ablesen der Z-Matrix: Änderung in die A-Matrix:
Durch die Kettenschaltung der beiden Vierpole werden die Kettenmatrizen multipliziert: Die Übertragungsfunktion H(s) wird durch den Kehrwert der Matrixstelle (1,1) gebildet: Um die Übertragungsfunktion besser auswerten zu können, wird diese auf eine normierte Form gebracht. Im Falle einer rationalen Funktion mit zwei Polstellen etwa: Nun werden die Parameter variiert, um alle möglichen Verhaltensweisen simulieren zu können (Anwendungs- und Rechen-Beispiele siehe Regler)

Operationsverstärker als Vierpol Schaut man sich einen realen Operationsverstärker an, so kann man auch hier einen Vierpol erkennen. Wir leiten zunächst einmal die allgemeinen Matrizen her und vereinfachen diese später unter dem Gesichtspunkt eines idealen Operationsverstärkers. Aufstellung der Gleichungen: I: U₁= I₁Z₁+ U_e II: U₂+ VU_e + I_aR_a = 0 U₂= -VU_e - I_aR_a III: -U₂+ I₃Z₂+ U_e = 0 U₂ = I₃Z₂+ U_e 1: I₁+ I₃- I_e = 0 2: I_a - I₃+ I₂ = 0 O: U_e = I_eR_i Zum Aufstellen der Matrizen, werden die aufgestellten Formeln geschickt ineinander eingesetzt. Gleichung 1: U₁= I₁Z₁+ U_e \| Masche I U₁= I₁Z₁+ I_eR_i \| O eingesetzt U₁= I₁Z₁+ ( I₁+ I₃ )R_i\| 1 eingesetzt U₁= I₁Z₁+ ( I₁+ I_a + I₂ )R_i \| 2 eingesetzt U₁= (Z₁+ R_i)I₁+ R_iI₂+ R_iI_a \| umgeformt ergibt G1 Gleichung 2: U₂ = I₃Z₂+ U_e \| Masche III U₂ = I₃Z₂+ I_eR_i \| O eingesetzt U₂ =I₃Z₂+ (I₁+ I₃)R_i \| 1 eingesetzt U₂ = (I_a + I₂ )Z₂+ (I₁+ I_a + I₂ )R_i \| 2 eingesetzt U₂ = R_iI₁+ (Z₂ + R_i) I₂+ (Z₂ + R_i)I_a \| umgeformt ergibt G2 Gleichung 3: U₂= -VU_e - I_aR_a\| Masche II U₂= -VI_eR_i - I_aR_a \| O eingesetzt U₂= -V(I₁+ I₃)R_i - I_aR_a \| 1 eingesetzt U₂= -V(I₁+ I_a + I₂ )R_i - I_aR_a \| 2 eingesetzt U₂= -VR_i I₁-V R_i I₂ – (R_a+V R_i)I_a\| umgeformt ergibt G3 Gleichung G3 umformen um I_azu ersetzen: Umgeformte Gleichung in G2 einsetzen ergibt G4 : Gleichung G2 wird nun mit G3 gleichgesetzt und nach I_aaufgelöst: -VR_i I₁-V R_i I₂ – (R_a+V R_i)I_a= R_iI₁+ (Z₂ + R_i) I₂+ (Z₂ + R_i)I_a -VR_i I₁-V R_i I₂ - R_iI₁-(Z₂ + R_i) I₂= (Z₂ + R_i+ R_a+VR_i )I_a I_awird nun in G1eingesetzt: Z₁₁ Z₁₂ Die Faktoren vor I₁ und I₂ geben dann die Matrix-Elemente Z₁₁ und Z₁₂ an, die hier noch mal vereinfacht werden: Z₁₁: Z₁₂: Bei der zweiten Abhängigkeit wird die Gleichung G4 einfach nach I₁ und I₂ isoliert: Z₂₁ Z₂₂ Die Faktoren vor I₁ und I₂ geben dann die Matrix-Elemente Z₂₁ und Z₂₂ an, die hier noch mal vereinfacht werden: Z₂₁: Z₂₂: Dadurch ergibt sich jetzt die Z-Matrix für den realen Operationsverstärker-Vierpol mit: Um die Vierpole leichter berechnen zu können, gehen wir aber nicht von einem realen Operationsverstärker aus, sondern von einem Idealen. Ein Idealer Operationsverstärker hat: R_i » ¥ (Eingangswiderstand) V » ¥ (Verstärkung) R_a » 0 (Ausgangswiderstand) Die Elemente der Matrix werden weiter vereinfacht. Z₁₁: = Z₁ Z₁₂: = 0 Z₂₁: = -Z₂ Z₂₂: = 0 Dadurch ergibt sich jetzt die Z-Matrix für den idealen Operationsverstärker-Vierpol mit: Da die Übertragungsfunktion der Kehrwert der A₁₁ Matrixstelle ist, muss die Z-Matrix noch in die A-Matrix gewandelt werden. Die Umwandlung in dass Element A₁₁ ist die Division von Z₁₁ durch Z₂₁. Die Übertragungsfunktion für einen idealen Operationsverstärker ist demnach Z₂₁ dividiert durch Z₁₁ und es ergibt sich bekannte Übertragungsfunktion für eine invertierende Operationsverstärker-Schaltung: